VĐ2: TÌM GIAO TUYẾN CUA HAI MĂT PHẲNG, THIẾT DIỆN CHO BỞI QUAN HỆ SONG SONG
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD, O là giao điểm của AC và BD, M là trung điểm của SA. Tìm thiết diện của mặt phẳng (a) với hình chóp S.ABCD nếu (a) qua M và đồng thời song song với SC và AD.
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (a) đi qua O, song song với AB và SC. Thiết diện đó là hình gì?
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang có đáy lớn là AD. Gọi M là một điểm bất kỳ trên cạnh AB, a là mp qua M và song song với AD và SB
a .Mp(a) cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là hình gì?
b. Chứng minh rằng SC// (a).
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(a) đi qua O, song song với AB và SC, thiết diện đó là hình gì?
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Xác định thiết diện hình chóp cắt bởi mặt phẳng (b) đi qua trung điểm M của cạnh AB, song song với BD và SA.
Bài Tập Đề Nghị
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, E là ba điểm lần lượt lấy trên AD, CD, SO. Tìm thiết diện của hình chóp với mp (MNE).
Hướng dẫn
Gọi I = MN
BD
Trong mp(SBD), IE cắt SB tại Q.
Trong mặt phẳng đáy đường thẳng MN cắt BC tại H và cắt AB tại K.
Ta có: HQ =(SBC)(EMN) và KQ cắt SA tại R.
Các đoạn MN, NP, PQ, QR, RM là các đoạn giao tuyến của mp(MNE) với đáy và các mặt bên của hình chóp.
Thiết diện là ngũ giác MNPQR.
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD với M, N là hai điểm lần lượt lấy trên các cạnh AB và CD. Gọi (a) là mặt phẳng qua MN và song song với SA.
a. Tìm các giao tuyến của mp(a) với các mp(SAB) và (SAC)
b. Tìm thiết diện của hình chóp với mp(a)
Hướng dẫn
a. mp(a)//SA mà SA
(SAB) và M(a)(SAB)
b. Ta biết một điểm chung M của (a) và (SAB) đồng thời biết phương của giao tuyến là phương song song với SA.
Vậy (a)(SAB) = MP với MP//SA
Tương tự ta có: R = AC
MN là một điểm chung của (a) với (SAC) đồng thời mp(a)//SA mà SA (SAC) nên ta có giao tuyến là RQ = (a)(SAC) với RQ//SA.
b. Các đoạn giao tuyến của (a) với các mặt (SAB), (SBC), (SCD) và (ABCD) là MP, PQ, QN, NM. Do đó thiết diện là tứ giác MPQN.
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD với đáy là hình thang ABCD có AD//BC, AD =2BC. Gọi E là trung điểm AD và O là giao điểm của AC và BE. I là một điểm di động trên cạnh AC khác A và C. Qua I, ta vẽ mp(a)//(SBE). Tìm thiết diện tạo bởi (a) và hình chóp S.ABCD.
Hướng dẫn
Ta thấy rằng tứ giác BEDC là hình bình hành vì:
ED//BC, ED = BC
Trường hợp 1: I thuộc AO và I khác O. Gọi vị trí này là I1, (a)//(SBE) nên (a)// BE và (a)// SO.
(a)// BE nên (a) cắt (ABE) theo giao tuyến M1N1 đi qua I1 và M1N1//BE (M1AB, N1AE).
(a)// SO nên (a) cắt (SAC) theo giao tuyến S1I1 đi qua I1 và //SO (S1SA).
Ta có thiết diện là tam giác S1M1N1.
Trường hợp 2: I thuộc đoạn OC và I khác O. Gọi vị trí này là I2, (a)//(SBE) nên (a)// BE và (a)// SO.
(a)// BE nên (a) cắt (BEDC) theo giao tuyến M2N2 đi qua I2 và M2N2//BE (M2BC, N2ED).
(a)// SO nên (a) cắt (SOC) theo giao tuyến QI2 đi qua I2 và //SO (QSC).
Do (a)//CD( vì CD//BE) nên (a) sẽ cắt hai mp(BEDC) và (SDC) theo hai giao tuyến M2N2, PQ cùng cong song với CD (PÎSD)
Ta có thiết diện là hình thang M2N2PQ
Trường hợp 3. Iº O
Dễ thấy thiết diện là tam giác SBE.
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD, O là giao điểm hai đường chéo AC và BD, tam giác SBD đều. Gọi I là điểm di động trên đoạn AC. Lấy (a) là mặt phẳng đi qua I và song song mp(SBD). Xác định thiết diện của mp(a) với hình chóp S.ABCD.
Hướng dẫn
Trường hợp 1: I thuộc AO. Khi đó I ở vị trí I1,
Ta có: (a)//(SBD) Þ (a)// BD và (a)// SO.
Vì (a)// BD nên (a) cắt (ABD) theo giao tuyến M1N1 và M1N1//BD.
Tương tự (a)// SO nên (a) cắt (SOA) theo giao tuyến S1I1 và //SO.
Ta có thiết diện là tam giác S1M1N1.
Trường hợp 2: I thuộc đoạn OC.
Khi đó I ở vị trí I2, tương tự ta có thiết diện là tam giác đều S2M2N2 có M2N2//BD, S2M2//SB, S2N2//BD.
Trường hợp 3. Iº O: thiết chính là tam giác đều SBD.